我们提出了具有非零但可能非常小的展宽因子η的布里渊区积分的有效方法，重点讨论了下折叠哈密顿量可以用万尼尔插值有效计算的情况。我们描述了鲁棒的，高阶精确的算法，自动收敛到用户指定的误差容限ε，强调了相对于η的有效计算缩放。在分析了适用于大展宽情况的标准等步积分方法的基础上，提出了一种适用于小η域的简单迭代自适应积分算法。它的计算成本在三维空间中为\(\)(log3(η−1))η→0+，而在等速积分中为\(\)(η−3)。我们认为，相比之下，基于树的自适应积分方法对于典型的布里渊区积分仅为\(\)(log(η−1)/η2)。除了具有良好的缩放性外，迭代自适应算法易于实现，特别是对于不可约布里渊区域的积分，它避免了基于树的方案所需的四面体网格。我们通过计算SrVO3在meV尺度上展宽的光谱函数来说明这些算法。
声学逆障碍物散射问题包括由一组入射场(探测器)引起的远场散射测量来确定区域形状的问题。对于声速已知的可穿透物体，这可以通过将边界单独处理为未知曲线来实现。或者，我们可以将整个物体视为未知，并使用更一般的体积表示，而不使用已知的声速。两者都导致强非线性和非凸优化问题，递归线性化为数值分析提供了有用的框架。在扩展了之前针对非穿透体开发的形状优化方法之后，我们对这两种方法进行了系统的研究，并在各种实例上比较了它们的性能。我们的研究结果表明，体积方法更稳健，即使自由度的数量明显更大。最后，我们讨论了这一现象和进一步研究的潜在方向。
这是一本简单证明梯度收敛和随机梯度下降型方法的手册。我们考虑的函数是Lipschitz，光滑，凸，强凸和/或Polyak-Łojasiewicz函数。我们的重点是
最近的实验表明，即使动物已经完全学会并稳定地执行任务，许多大脑区域的神经种群密码也会不断变化。这种代表性的“漂移”自然导致了关于其原因、动态和功能的问题。在这里，我们探讨了一个假设，即神经表征优化一个具有退化解空间的表征目标，并且有噪声的突触更新驱动网络探索这个(接近)最优空间，从而导致表征漂移。我们用简单的、生物学上合理的表示学习的Hebbian/anti-Hebbian网络模型来说明这一观点并探讨其后果。我们发现单个神经元的漂移接受野可以用协调随机游走来表征，其有效的扩散常数取决于各种参数，如学习率、噪声幅度和输入统计量。尽管存在这种漂移，但人口编码的代表性相似性随着时间的推移是稳定的。我们的模型概括了海马体和后顶叶皮层的实验观察结果，并做出了可测试的预测，可以在未来的实验中进行探索。
基于最近引入的傅立叶轮廓变形(FCD)方法，我们提出了一种在自由空间中传播时变Kohn-Sham方程的有效方法。对于有界域外恒定的势，FCD直接在自由空间中产生时间相关Schrödinger方程的高阶精确数值解，而不需要人工边界条件。在许多现有的人工边界条件格式中，FCD最类似于精确的非局部透明边界条件，但它直接作用于任何维度的笛卡尔网格，并且运行在快速傅里叶变换而不是快速算法上，用于应用非局部历史积分算子。我们将FCD应用于时变密度泛函理论(TDDFT)，并描述了一种简单的算法，可以平滑自动地将远程类库仑势截断为有界感兴趣域外的时变常数，从而使FCD可以使用。这种方法消除了使用人工边界条件产生的误差，只留下潜在截断的误差，这是可控的，可以系统地减少。该方法能够精确模拟分子复合物中的超强非线性电子过程，其中束缚态和连续态之间的干扰是至关重要的。我们展示了多电子TDDFT计算吸收和强场光电子能谱在一维和二维模型中的结果，并观察到与复杂吸收势的流行方法相比，获得高质量结果所需的计算域的大小显着减少。
我们考虑当一个稀疏非负矩阵\(\mathbf{S}\)可以通过一个元素非线性，从一个显著低秩的实值矩阵~ \(\mathbf{S}\)中恢复。特别有趣的是，\(\mathbf{S}\)的正元素编码低维流形上邻近点的相似度的设置。然后，恢复可以作为流形学习中的一个问题——在这种情况下，如何学习高维输入到低维空间的保范和邻域映射。我们描述了一种基于稀疏矩阵的广义低秩分解的算法。这种分解有一个有趣的性质，它可以被一个具有一层校正线性单元的神经网络编码;由于算法发现了这种编码，它也可以被视为深度学习的分层原语。每当输入\(\mathbf{x}_i|)\)和\(\mathbf{x}_j\)\)之间的夹角余弦超过某个阈值\(\tau\in(0,1)\)时，算法就认为它们是相似的。给定这个阈值，算法试图通过匹配两个稀疏矩阵的元素来发现一个映射\(\mathbf{x}_i\mapsto\mathbf{y}_i\);特别是,它寻求的映射\ (\ mathbf{年代}= \马克斯(0 \ mathbf {L}) \),在那里\ (S_ {ij} = \马克斯(0 \ mathbf {x} _i \ cdot \ mathbf {x} _j - \τ\ | \ mathbf {x} _i \ | \ | \ mathbf {x} _j \ |) \)和\ (L_ {ij} = \ mathbf {y} _i \ cdot \ mathbf {y} _j - \τ\ | \ mathbf {y} _i \ | \ | \ mathbf {y} _j \ | \)。我们将该算法应用于矢量大小和小余弦距离具有可解释含义的数据集(例如，图像的亮度，与其他单词的相似性)。 On these data sets, the algorithm is able to discover much lower dimensional representations that preserve these meanings
我们考虑在二维空间中分离绝缘相位的奇异波导的分析。绝缘区域由一个巨大的Schrödinger方程和沿分离绝缘体的一维界面适当的跳变条件的奇异波导来建模。我们给出了这个问题的一个积分公式，并分析了它的数学性质。我们还实现了求解积分方程的快速多极和扫描加速迭代算法，并在数值上证明了该方法的快速收敛性。几个解和散射效应的数值例子说明了我们的理论。
我们考虑二维声软星形障碍物的逆声障碍问题，其中障碍物的边界是由物体外部接收器集合的散射场测量确定的。解决该问题的标准方法之一是将其重新表述为优化问题:找到使散射场计算值与给定测量数据之间的距离最小的域边界。优化问题在计算上具有挑战性，因为局部凸集随着频率的增加而缩小，并且在真解附近会产生越来越多的局部极小值。在许多实际的实验设置中，由于实验设置或用于测量的传感器的限制，无法进行低频测量。因此，在这种环境下，为优化问题获得一个良好的初始猜测是至关重要的。
提出了一种求解逆散射问题的神经网络热启动方法，利用训练好的神经网络得到了优化问题的初始猜想。通过几个数值算例验证了该方法的有效性。对于高频问题，这种方法优于传统的迭代方法，如没有任何先验的高斯-牛顿初始化(即使用单位圆初始化)，或使用线性抽样方法等直接方法的解进行初始化。该算法对散射场测量中的噪声具有较强的鲁棒性，并收敛于有限孔径数据的真解。然而，训练神经网络所需的训练样本数量在频率和所考虑障碍的复杂性方面呈指数级增长。最后，我们讨论了这一现象和未来研究的潜在方向。
本文介绍了一种求解二阶线性微分方程的有效数值方法。二阶线性微分方程的解在解区间内可能在高度振荡和缓慢变化之间变化。在振荡区域，解通过服从非线性Riccati方程的非振荡相函数生成。我们提出了一个缺陷修正迭代，它给出了这样一个相函数的渐近级数;这是在具有少量节点的切比雪夫网格上的数值近似。对于解析系数，我们证明了每次迭代，在达到某一最大次数之前，将残差减小一个局部频率的数量级。该算法适应步长和方法的选择，将传统的频谱配置方法转换为远离振荡区域的方法。在数值实验中，我们发现我们的建议优于其他最先进的振荡求解器，最显著的是在低到中频和低公差下，它可以使用多达106倍的函数评估。即使在高频情况下，我们的实现也比其他专门的求解器平均快10倍。